\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl}%%% PsTricks et Euclide
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
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% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
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% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(O,I,J)}
\newcommand{\Ouv}{(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
\newcommand{\Oijk}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
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\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage[ps2pdf]{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
pdftitle = {},
pdfstartview = FitH,
pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
allbordercolors = white,
colorlinks=true,
linkcolor=red,
urlcolor=red,
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%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}}%%% vecteur

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}
\begin{document}

\part*{\centering Moyennes}

\vfill

On note $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

\medskip

On définit $m=\dfrac{a+b}{2}$ et $g=\ds\sqrt{ab}$  les moyennes arithmétique et géométrique des nombres $a$ et $b$.

La moyenne harmonique $h$ des nombres $a$ et $b$ est définie par $\dfrac{2}{h} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$.

Montrer que l'on a: $h=\dfrac{2ab}{a+b}$.

\vfill

\subsection*{Partie A}

Dans cette partie, on prend $a=40$ et $b=10$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $m$, $g$ et $h$.

\item Vérifier que: $a>m>g>h>b$.

\end{enumerate}

\vfill

\subsection*{Partie B}

Dans cette partie, on suppose que $a > b > 0$.

On va démontrer, uniquement par des considérations géométriques, que $a>m>g>h>b$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Placer sur une droite trois points A, B et C dans cet ordre tels que $\text{AB}=a$ et $\text{BC}=b$.

\item Tracer un demi-cercle $\mathscr C$ de diamètre \cd AC\cg; on appelle O son centre.

\item La perpendiculaire à (AC) passant par B coupe $\mathscr C$ en M et la perpendiculaire à (OM) passant par B coupe (OM) en G.

Placer les points M et G.

\end{enumerate}

\item Démontrer que $\text{OM}=\dfrac{a+b}{2}$; en déduire que $a>m>b$.

\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{BMC}}$ et $\widehat{\text{MAB}}$ sont égaux.

\item Exprimer la tangente de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ dans le triangle MAB.

Exprimer la tangente de l'angle $\widehat{\text{BMC}}$ dans le triangle BMC.

En déduire que $\text{MB}^2 = \text{AB}\times \text{BC}$ et donc que $\text{MB}=g$.

\item Déduire enfin que $m>g$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  En utilisant des relations trigonométriques dans les triangles rectangles OMB et GMB, démontrer que $\text{MB}^2=\text{MG}\times \text{MO}$.

\item En déduire que $\text{MG}=h$ puis que $g>h$.

\item Démontrer enfin que $\text{MG}>\text{BC}$, autrement dit que $h>b$.

On pourra utiliser les égalités $\text{MO} = \text{MG} + \text{GO}$ et de $\text{OC} = \text{OB} + \text{BC}$. 

\end{enumerate}

\item Conclure.

\end{enumerate}

\vfill

\vfill

\newpage

\part*{\centering Moyennes -- Correction}


$\dfrac{2}{h} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}
\iff \dfrac{2}{h} = \dfrac{b+a}{ab}
\iff \dfrac{h}{2} = \dfrac{ab}{a+b}
\iff h=\dfrac{2ab}{a+b}$

\subsection*{Partie A}

Dans cette partie, on prend $a=40$ et $b=10$.

\begin{enumerate}
\item $m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{40+10}{2} = 25$; 
$g=\ds\sqrt{ab} = \ds\sqrt{40\times 10} = \ds\sqrt{400} = 20$ et\\[5pt]
$h = \dfrac{2ab}{a+b} = \dfrac{2\times 40\times 10}{40+10} = \dfrac{800}{50} = 16$

\item $40>25>20>16>10$ donc $a>m>g>h>b$

\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Dans cette partie, on suppose que $a > b > 0$.

\begin{enumerate}
\item On construit la figure:

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=4pt 3,PtNameMath=false,PointSymbol=none}
\def\xmin{-2.2}   \def\xmax{2.2}
\def\ymin{-1.1}   \def\ymax{2.4}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstGeonode[PosAngle={-90,-90,-90}](0,0){O}(-2,0){A}(2,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=70](2;70){M}
\pstArcOAB{O}{C}{A} \uput[135](2;135){$\mathscr C$}
\pstProjection[CodeFig=true,CodeFigColor=black,RightAngleSize=0.15,PointSymbol=none]{A}{C}{M}[B]
\pstProjection[CodeFig=true,CodeFigColor=black,RightAngleSize=0.15,PointSymbol=none]{O}{M}{B}[G]
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-2,-0.5){A'}(2,-0.5){C'}
\pstProjection[CodeFig=false,PointSymbol=none,PointName=none]{A'}{C'}{B}
\pstRightAngle[linecolor=black,RightAngleSize=0.15]{A}{M}{C}
\pstLineAB{<->}{A'}{B'}
\pstLineAB{<->}{B'}{C'}
\psline(G)(B)(M)(C)(A)(M)(O)
\pstMiddleAB[PointSymbol=none,PosAngle=90]{A'}{B'}{$a$}
\pstMiddleAB[PointSymbol=none,PosAngle=90]{B'}{C'}{$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Démontrer que $OM=\dfrac{a+b}{2}$; en déduire que $a>m>b$.
\begin{list}{\textbullet}{}

\item \cd AC\cg{} est un diamètre du demi-cercle et \cd OM\cg{} est un rayon donc $\text{AC}=2\,\text{OM}$ ce qui veut dire que $\text{OM}=\dfrac{\text{AC}}{2}$.
On peut dire aussi que $\text{AC}=\text{AB}+\text{BC} = a+b$.

Donc $\text{OM}=\dfrac{a+b}{2}$ est la moyenne arithmétique $m$ de $a$ et de $b$.

\item $\text{OM}=\text{OA}<a$ et $\text{OM}=\text{OC}>b$ donc $a> m > b$.

\end{list}

\item
\begin{enumerate}
\item% Démontrer que les angles $\widehat{BMC}$ et $\widehat{MAB}$ sont égaux.

\emph{Rappel} -- On appelle \og angles complémentaires\fg{} deux angles dont la somme des mesures vaut 90\degres.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Par construction le triangle MBC est rectangle en B donc les angles $\widehat{\text{BMC}}$ et $\widehat{\text{MCB}}$ sont complémentaires.

\item Le triangle AMC est inscrit dans un cercle de diamètre \cd AC\cg, donc il est rectangle en M; les angles $\widehat{\text{MAB}}$ et $\widehat{\text{MCB}}$ sont donc complémentaires.

\item Des deux points précédents, on déduit:

$\left. 
\begin{array}{l}
\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{MCB}} = 90\degres\\
\widehat{\text{MAB}}+ \widehat{\text{MCB}} = 90\degres
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc }
\widehat{\text{BMC}} = \widehat{\text{MAB}}$

\end{list}

\item
\emph{Rappel} -- Dans un triangle rectangle: 
$\text{tangente (angle non droit)} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item
Dans le triangle MAB:
$\tan \widehat{\text{MAB}} = \dfrac{\text{MB}}{\text{AB}}$.

\item
Dans le triangle BMC:
$\tan \widehat{\text{BMC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{MB}}$.

\item
$\widehat{\text{BMC}} = \widehat{\text{MAB}}$ donc
$\tan \widehat{\text{BMC}} = \tan \widehat{\text{MAB}}$ 
ce qui équivaut à
$\dfrac{\text{MB}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{MB}}$
et donc $\text{MB}^2=\text{AB}\times \text{BC}= ab$. 

Donc $\text{MB}= \ds\sqrt{ab}$ et donc MB est la moyenne géométrique $g$ de $a$ et de $b$.

\end{list}

\item% Déduire enfin que $m>g$.
Dans le triangle OMB rectangle en B, le côté \cd OM\cg{} est l'hypoténuse donc c'est le plus grand côté du triangle donc $\text{OM}>\text{MB}$ et donc $m > g$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item%  En utilisant des relations trigonométriques dans les triangles rectangles $OMB$ et $GMB$, démontrer que $MB^2=MG\times MO$.
\emph{Rappel} -- Dans un triangle rectangle: 
$\text{cosinus (angle non droit)} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans le triangle OMB rectangle en B:
$\cos \widehat{\text{OMB}} = \dfrac{\text{MB}}{\text{MO}}$.

\item Dans le triangle BMG rectangle en G:
$\cos \widehat{\text{GMB}} = \dfrac{\text{MG}}{\text{MB}}$.

\item Les angles $\widehat{\text{OMB}}$ et $\widehat{\text{GMB}}$ sont les mêmes, donc leurs cosinus sont égaux et donc:\\[5pt] 
$\dfrac{\text{MB}}{\text{MO}} = \dfrac{\text{MG}}{\text{MB}}$ ce qui équivaut à
$\text{MB}^2=\text{MG}\times \text{MO}$. 

\end{list}

\item 
\begin{list}{\textbullet}{}

\item
$\text{MB}^2=\text{MG}\times \text{MO}$ donc $\text{MG}= \dfrac{\text{MB}^2}{\text{MO}}$.

\item D'après les questions précédentes, $\text{MB}^2=ab$ et $\text{MO} =m=\dfrac{a+b}{2}$ donc

$\text{MG}= \dfrac{ab}{\dfrac{a+b}{2}} = \dfrac{2ab}{a+b} = h$ moyenne harmonique de $a$ et de $b$. 

\item Dans le triangle MBG rectangle en G, l'hypoténuse est \cd MB\cg{} donc c'est le plus grand côté du triangle; on en déduit que $\text{MB} > \text{MG}=$ ce qui veut dire que $g > h$.

\end{list}

\item
Dans le triangle OGB rectangle en G, l'hypoténuse est \cd OB\cg{} donc c'est le plus grand côté; donc $\text{GO} < \text{OB}$ ce qui entraîne $\text{MG} + \text{GO} < \text{MG} + \text{OB}$.

$\text{OC} = \text{MO}$ donc
$\text{OB}+\text{BC} = \text{MG}+\text{GO}$
donc
$\text{OB}+\text{BC} < \text{MG}+\text{OB}$
et donc
$\text{BC} < \text{MG}$;
on en déduit que $\text{MG} > \text{BC}$ c'est-à-dire $g>h$.

\end{enumerate}

\item On a démontré successivement:
$a>m>b$, $m>g$, $g>h$ et $h>b$.

On peut donc en déduire que $a>m>g>h>b$.

\end{enumerate}

\end{document}